稳态误差:它是什么?(以及如何计算)| Electrical4U亚博ag安全有保障

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什么是稳态误差?

稳态误差定义为当时间趋于无穷时(即控制系统的响应达到稳态时)系统输出的期望值与实际值的差值。

稳态误差是线性系统输入/输出响应的一个特性。一般来说，一个好的控制系统应该具有较低的稳态误差。

首先，我们将通过分析一阶传递函数的稳态误差来讨论它稳态响应。让我们考虑传递函数如下:

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{1}{0.7 s + 1} \{方程*}结束$

这是一个简单的一阶传递函数，增益为1，时间常数为0。7秒。注意，它被称为一阶传递函数，因为分母中的“s”具有“1”的最高次幂。如果是这样的话 $0.7 s ^ 2 + 1$ ，它将是一个二阶传递函数。

该传递函数与稳态输入的响应如图1所示。可以看出，在稳态，输出正常等于输入。因此，稳态误差为零。

第一阶传递函数对步进输入的时间响应。 — **图-1:一阶传递函数对阶跃输入的时间响应。可以看出稳态误差为零**

这个函数对一个单元斜坡输入的响应如图-2所示。可以看出，在稳态时，输入和输出是不同的。因此，对于一个单位斜坡输入，一个稳态误差存在。

斜坡输入下一阶传递函数的时间响应。 — **图-2:一阶传递函数对斜坡输入的时间响应。可以看出，这种情况下存在稳态误差**

请注意，在许多控制系统书籍中，您可以发现逆斜坡输入，一阶传输函数的稳态误差等于时间常数。从上面观察到图2，我们可以看到这是真的。在T = 3秒时，输入为3，而输出为2.3。因此，稳态误差为0.7，其等于该一级传输函数的时间常数。

请注意以下重要提示:

稳态误差在抛物线输入时最高，在斜坡输入时通常较低，在阶跃输入时甚至更低。如上所述，对于阶跃输入，稳态误差为零，对于斜坡输入为0.7，可以发现对于抛物线输入，稳态误差是∞。
需要注意的是稳态误差依赖于输入，而稳定性不依赖于输入。

我们考虑一个具有传递函数的闭环控制系统

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{G (s)} {1 + G (s) H (s)} \{方程*}结束$

符号有它们通常的意义。系统的稳定性取决于分母，即' 1+G(s)H(s) '。' 1+G(s)H(s) = 0 '称为特征方程。它的根表示系统的稳定性。稳态误差取决于R(s)。

在闭环控制系统中，误差信号可以计算为 $E (s) = \压裂{R (s)} {1 + G (s) H (s)}。$ 稳态误差为e_党卫军= $\ lim_ {s \ lightarrow 0} e（s）$ ，其中稳态误差为稳态误差信号的值。由此我们可以看出稳态误差依赖于R(s)。

如上所述，稳定性取决于分母I.1 + G（S）。这里'1'是恒定的，因此稳定性取决于g（s），这是可以改变的等式的一部分。所以，你可以了解波德图,奈奎斯特图在g（s）h（s）的帮助下被绘制，但它们表示稳定性 $\压裂{C (s)} {R (s)}$ 。
G(s)H(s)称为开环传递函数和 $\压裂{C (s)} {R (s)}$ 称为闭环传递函数。通过对开环传递函数G(s)H(s)的分析，通过波德图和奈奎斯特图可以得到闭环传递函数的稳定性。

稳态误差示例

单位步骤输入的稳态误差

现在，我们将在闭环控制系统中解释，稳态误差，数值示例少。我们将从具有单位步进输入的控制系统开始。

示例1:

考虑如图-3所示的控制系统(system-1):

参考输入的R_年代'是单位阶跃输入。

System-1的各种稳态值如图-4所示。

可以看出，误差信号的稳态值为0.5，因此稳态误差为0.5。如果系统是稳定的，并且各种信号是常量，则可以如下获得各种稳态值：

在转移函数中 $s \ lightarrow 0$ ，得到传递函数的稳态增益。

您可以计算输出如下:

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{4}{s + 8} \{方程*}结束$

记住这一点 $R (s)$ =单位步长输入= $\ frac {1} {s}$ ，我们可以重新排列它：

$\ begin {arequation *} c（s）= \ frac {4} {s + 8} \ times r（s）= \ frac {4} {s（s + 8）} \ end {等式*}$

输出的稳态值是：

$\ begin {等式*} \ lim_ {s \ lightarrow 0} sc（s）= s \ frac {4} {s + 8} \ frac {1} {s} = \ frac {1} {2} \ neg {方程*}$

我们可以使用上述方法来计算任何信号的稳态值。例如：

输入是 $R (s) = \压裂{1}{年代}$ （输入是单位步骤输入）

其稳态值= $\ lim_ {s \ lightarrow 0} \ sr（s）= s \ frac {1} {s}$ = 1。

同样，误差信号可以计算为:

$\ begin {公式*} e（s）= \ frac {r（s）} {1 + g（s）h（s）} = \ frac {s + 4} {s（s + 8）} \ neg {方程*}$

误差信号的稳态值（即稳态错误）是：

${方程*}\ \开始lim_ {s \ rightarrow 0} sE (s) = s \压裂{s + 4} {s (s + 8)} = \压裂{1}{2}{方程*}\结束$

从图-4可以看出，输入与输出的差值为0.5。因此稳态误差为0.5。

计算稳态误差的另一种方法涉及查找错误常量，如下所示：

计算位置误差系数k_p= $\lim_{s \右箭头0}G(s)H(s)$ 你会找到K_pe = 1,_党卫军= $\ frac {1} {1 + kp}$ 。你会找到相同的答案。

如果输入是阶跃输入 $R (s) = \压裂{3}{年代}$ (它是阶跃输入，但不是单位阶跃输入)，则稳态误差为e_党卫军= $\压裂{3}{1 + Kp}$

如果输入是单位斜坡输入，则计算，速度误差系数k_v= $G(s)H(s)$ ，E._党卫军= $\压裂{1}{Kv}$

若输入为单位抛物线输入，则计算，加速度误差系数Ka= $\ lim_ {s \ lightarrow 0} ^ 2g（s）h（s）$ ，E._党卫军= $\ frac {1} {ka}$ 。

随着误差常量k的分析_p，K_v和K._一个，就可以理解稳态误差是如何依赖于输入的。

PI控制器与稳态误差

一个比例积分控制器(即比例控制器加上积分控制器)减小了稳态误差(e_党卫军)，但对稳定性有负面影响。

PI控制器的优点是减小系统的稳态误差，而缺点是降低系统的稳定性。

PI控制器降低了稳定性。这意味着阻尼减小;PI控制器增加了峰值超调量和沉降时间;左侧特征方程的根(闭环传递函数的极点)将更接近虚轴。由于PI控制器的存在，系统阶次增大，稳定性降低。

考虑两个特征方程，一个是s^3.+ S.²+ 3s+20=0，另一个是s²+ 3 s + 20 = 0。通过观察，我们可以告诉你，与第一个方程相关的系统的稳定性比第二个方程要低。你可以通过求方程的根来验证。你可以理解高阶特征方程的稳定性较低。

现在，我们将在System-1（图-3）中添加一个PI控制器（比例加积分控制器）并检查结果。在System-1中插入PI控制器后，图5中示出了各种稳态值，可以看出，输出正常等于参考输入。它是PI控制器的优点，即它最大限度地减少了稳态误差，使输出试图遵循参考输入。

PI控制器的传递函数可以计算为 $kp + \ frac {ki} {s}$ 或者 $\ frac {kps + ki} {s}。$ 可以提出一个问题，如果任何传递函数的输入为零，那么它的输出也应该为零。因此，在目前的情况下，PI控制器的输入为零，但PI控制器的输出是一个有限值(即1)。任何控制系统书籍中都没有给出这个解释，因此我们将在这里解释:

(1)稳态误差不完全为零，它趋向于零，类似的' s '不等于零，它趋向于零，所以在任意情况下稳态误差为2x10^-3，同时' s '(特别是PI控制器分母中的' s ')也等于2x10^-3，因此PI控制器的输出为' 1 '。

让我们考虑另一个如图-6所示的控制系统:

具有PI控制器的闭环控制系统 — **图-6:使用PI控制器的闭环控制系统的例子**

在这种情况下，我们可以说，在任何实例假设，稳态错误是2x10^-3，同时's'等于4×10-3;因此，PI控制器的输出为“0.5”。这意味着两个'ESS'和's'往往趋于零，但它们的比例是有限的值。

在控制系统的书中，您永远不会找到s = 0或t =∞;你将永远找到
$s \ lightarrow 0，t \ lightarrow 0。$

(2)第二种解释是稳态误差为零，' s '在稳态时也是零。PI控制器传递函数为 $\ frac {kps + ki} {s}$ 。在数学书中，你会发现 $\ frac {0} {0}$ 是未定义的，所以它可以是任何有限值(参见图-7)。

(3)第三种解释是， $\ frac {1} {s}$ 是一个集成商。输入为零，零集成未定义。因此PI控制器的输出可以是任何有限值。

开环控制系统和闭环控制系统的一个基本差异

参考上述说明，我们将解释开环控制系统和闭环控制系统的一个基本差异。开环控制系统和闭环控制系统的差异，您可以在任何控制系统中找到*，但这里给出了与上述解释相关的一个基本差异，我们希望肯定会对读者有用。

开环控制系统可以表示如下：

闭环控制系统（反馈控制系统）可以表示如下：

植物的转移功能是固定的（植物的传递函数由于环境变化，干扰等）可以自动改变。在我们所有的讨论中，我们假设h（s）= 1;操作员可以控制控制器的传递函数（即控制器的参数，使得k_p，K_d，K_我）等等。

控制器可以是比例控制器(P控制器)，PI控制器，PD控制器，PID控制器、模糊逻辑控制器等。控制器有两个目标(i)保持稳定性，即阻尼应在0.7-0.9左右，峰值超调和稳定时间应较低(ii)稳态误差应最小(为零)。

但如果我们将尝试增加阻尼，那么稳态误差可能会增加。因此，设计控制器应该是这样（稳定和稳态误差）应该在控制范围内。控制器的最佳设计是一个庞大的研究主题。

PI控制器减小了稳态误差(e_党卫军)，但对稳定性有负面影响。

现在，我们将解释开环控制系统和闭环控制系统之间的一个基本区别，这与上述解释有关。

考虑图10;它是一个开环控制系统。

设输入为单位阶跃输入。因此，输入的稳态值是1。可以计算出输出的稳态值为“2”。假设由于任何原因，设备的传递函数[G(s)]发生了变化，对输入和输出的影响是什么?答案是，植物的输入不会改变，植物的输出会改变。

现在看看图11和12

两者都是闭环控制系统。在图-11中，假设由于任何原因，工厂的传递函数发生了变化，对输入和输出的影响是什么?在这种情况下，工厂的输入将改变，工厂的输出将保持不变。工厂的输出试图跟随参考输入。

图-12显示了植物参数发生变化的新情况。你可以看到植物的输入从0.5变成了0.476，而输出没有改变。在这两种情况下，PI控制器的输入为零，PI控制器的规格相同，但PI控制器的输出不同。

所以，你们可以理解，在开环控制系统中被控装置的输出改变，而在闭环控制系统中被控装置的输入改变。

在控制系统的书中，您可以找到以下语句：

“在植物传递函数的参数变化的情况下，与开环控制系统相比，闭环控制系统比较敏感”（即闭环控制系统输出的变化与开环控制系统相比较少）。

我们希望通过本文给出的例子可以使上述陈述更加清晰。

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*亲爱的电气亚博ag安全有保障4U读者，请注意本文的目的不是重现本书中已有的主题;但我们的目标是以简单的语言向控制工程提供各种复杂的主题，具有数值例子。我们希望本文对您有所帮助了解稳态错误和PI控制器的各种复杂性。

稳态误差:它是什么?（稳态增益，价值和公式）

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稳态误差示例

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