尼奎斯特稳定性判据:它是什么?(加上Matlab的例子)

什么是奈奎斯特标准

奈奎斯特稳定性判据(或奈奎斯特准则)是一种图形技术控制工程用于确定动力系统的稳定性。因为奈奎斯特稳定性标准只考虑奈奎斯特图的开环控制系统，它不需要显式地计算闭环或开环系统的极点和零点。

因此，奈奎斯特准则可以应用于由非有理函数定义的系统(如具有延迟的系统)。不像波德图，它可以处理具有右半平面奇点的传递函数。

Nyquist稳定性判据可以表示为:

Z = N + P

地点:

• Z = s平面右侧(RHS)的1+G(s)H(s)的根数(也称特征方程的零)
• N =临界点1+j0在顺时针方向的环数
• P =开环传递函数(OLTF)的极点数[即G(s)H(s)]在s平面的RHS中。

上述条件(即Z=N+P)对所有稳定或不稳定的系统都有效。

现在我们将用奈奎斯特稳定性判据的例子来解释这个判据。

奈奎斯特稳定性判据例子

尼奎斯特准则例1

考虑开环传递函数(OLTF)为 它是稳定的系统还是不稳定的。也许你们大多数人会说这是一个不稳定的系统，因为一个极点是+2。然而，请注意稳定性取决于闭环传递函数的分母。

如果闭环传递函数(也称为特征方程)的任何分母的根在s平面的RHS处，则系统是不稳定的。所以在上面的例子中，一个正2点的极点将试图使系统趋向不稳定，但系统可能是稳定的。尼奎斯特图在寻找稳定性方面很有用。

根据奈奎斯特理论Z=N+P(对于任何系统，无论它是稳定的还是不稳定的)。

对于稳定系统，Z=0，即特征方程无根在RHS处。

对于稳定系统，N =- - - - - -P。

上述系统的Nyquist plot如下图所示

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G1 = 120 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G1,“红色”)

根据这张图，尼奎斯特绘制了围绕这个点的图- - - - - -1+j0(也称为临界点)在逆时针方向一次。因此,N =- - - - - -1，在OLTF中，一个极点(at +2)在RHS处，因此P =1。你可以看到N=- - - - - -P表示系统是稳定的。

如果你能找到特征方程的根，它就是- - - - - -10.3,- - - - - -0.86±j1.24。(即系统稳定)，Z=0。一个问题是，如果能找到特征方程的根，我们就可以在此基础上对稳定性进行评价，那么Nyquist plot还需要什么呢?答案是，在没有软件的时候，奈奎斯特图非常有用。

尼奎斯特准则例2

现在再举一个例子:

Nyquist plot如下:

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G2 = 100 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G2,“红色”)

由图可知，N=- - - - - -1.(临界点的尼奎斯特图绕时针方向为1)

在这个例子中也是P=1。(OLTF在RHS的一极)

因此,N =- - - - - -因此系统是稳定的。

(特征方程的根为- - - - - -10.04,- - - - - -1.72,- - - - - -0.23)

尼奎斯特准则例3

现在再举一个例子:

这里P = 1。

Nyquist plot如下:

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G3 = 50 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G3,“红色”)

你可以看到N=0。(无临界点包围)。当N不等于-P时，系统是不稳定的。(特征方程的根为- - - - - -9.32,- - - - - -3.92, 1.255)，即Z=1(在1.255处的一个极点在RHS上)。

你可以理解，条件Z=N+P对所有系统都有效。

Nyquist判据例4

现在考虑

如果你画它的奈奎斯特图，它将通过一个临界点(-1+j0)。在这种情况下，系统是边际稳定的。

你可以理解在这种情况下“N”是没有定义的(在现在的情况下，特征方程的两个根将在原点，一个根在s平面的左边。因此，系统将是边际稳定的)。

在上面的例子中，分母是一样的，但是分子是不同的，或者说分子是变量。因此，我们考虑以下开环传递函数:

如果你将Routh Hurwitz准则应用于特征方程1+G(s)H(s)，那么你会发现“K”的范围为96

所以，现在您可以理解为什么示例1中的系统- - - - - -4种是稳定的、不稳定的或边缘稳定的。

可以画出上述传递函数的根轨迹，即:

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G4 = 1 / ((2) * (s + 6) * (s + 8)) rlocus (G4)

根位点的分支从2，-6，-8开始，K=0。所以你可以看到，对于K<96，闭环传递函数的一个极点在s平面的RHS处，因此对于K<96，系统是不稳定的。系统在96

如果你决定K=337，那么闭环传递函数的两个极点是复数的，一个极点是实的;但是这个系统是不稳定的。要进一步了解，您可以参考的文章根轨迹。

请注意以下声明:

如果系统是稳定的，增益裕度(GM)和相位裕度(PM)为正，如果系统是不稳定的，增益裕度(GM)和相位裕度(PM)为负，如果系统是微稳定的，两者都为零。GM和PM越高，系统越稳定(这就是为什么GM和PM的测量被称为相对稳定性)。

但如果OLTF的极点不在s平面的RHS中，则上述命题成立。在以上所有的例子中，OLTF的一个极点是at +2;在这类系统中，奈奎斯特稳定性判据是有帮助的。

现在我们再来看几个例子:

Nyquist判据例5

考虑

其奈奎斯特情节如下:

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G5 = ((s + 1) * (s + 2)) / ((s 3) *(4)尼奎斯特(G5,“红色”)

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两个极点)

根据奈奎斯特图N=0

因此Z = N + P = 2;表明闭环传递函数的两极在s平面的RHS中，因此系统是不稳定的。

尼奎斯特准则例6

考虑

其奈奎斯特情节如下:

尼奎斯特绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G6 = (10 * (s + 1) * (s + 2)) / ((s 3) *(4)尼奎斯特(G6,“红色”)

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两个极点)

根据奈奎斯特图N=- - - - - -2

因此Z = N + P = 0;表明闭环传递函数在s平面的RHS中没有极点，因此系统是稳定的。

请注意，我们使用的公式Z=N+P，其中N=临界点1+j0在顺时针方向的环数。在一些书中，你可能会发现公式Z=N+P，其中N=临界点1+j0在逆时针方向的包围圈数。两者都是正确的。