的控制系统中的根轨迹技术1948年由埃文斯首次提出。任何物理系统都用传递函数的形式表示
我们可以从G(s)中找到极点和零点。极点和零点的位置对保持视点稳定性、相对稳定性、瞬态响应和误差分析至关重要。当系统进入服务杂散状态时电感和电容进入系统，从而改变了极点和零点的位置。在控制系统中的根轨迹技术我们将评估根的位置，它们的运动轨迹和相关信息。这些信息将用于评价系统性能。
现在，在我介绍什么是根轨迹技术之前，有必要讨论一下这个技术相对于其他稳定性标准的一些优点。根轨迹技术的一些优点写在下面。
根轨迹技术的优点
- 与其它方法相比，根轨迹技术在控制系统中的应用容易实现。
- 利用根轨迹可以很容易地预测整个系统的性能。
- 根轨迹提供了较好的参数指示方式。
现在有许多与根轨迹技术相关的术语，我们将在本文中经常用到。
- 与根轨迹技术相关的特征方程:1 + G(s)H(s) = 0称为特征方程。现在对特征方程求导使dk/ds等于0，我们可以得到脱离点。
- 脱离点:假设两个根轨迹从极点出发，向相反方向运动，它们相互碰撞，碰撞后开始以对称的方式向不同方向运动。或者特征方程1 + G(s)H(s) = 0的多个根出现的分离点。K的值在根位点的分支断裂的点是最大的。脱离点可以是实数、虚数或复数。
- 断点:闯进来的条件如下图所示:
根轨迹必须存在于实轴上两个相邻的零之间
。
- 重心:它也被称为质心，定义为图上所有渐近线的起点。从数学上讲，它是由传递函数中极点和零的总和之差除以极点总数和零总数之差来计算的。重心总是实的，用σ表示一个。
其中，N为极点数，M为零数。 - 根轨迹的渐近线:渐近线起源于重心或质心，以一定的角度趋于无穷。渐近线提供了指向根轨迹的方向，当它们离开偏离点时。
- 渐近线角:渐近线与实轴形成一个角这个角可以根据给定的公式计算，
式中，p = 0,1,2 .......(N-M-1)
N是极点的总数
M是0的总数。 - 到达或离开的角度:当系统中存在复极时，我们计算了离开角。出发角可以计算为180-{(复极与另一极的夹角之和)-(复极与零点夹角之和)}。
- 根轨迹与虚轴交点:为了求出根轨迹与虚轴的交点，我们使用了劳斯-赫维茨准则。首先，我们找到辅助方程，然后相应的K值将给出交点的值。
- 增益裕度:我们定义了增益裕度，在系统变得不稳定之前，增益系数的设计值可以乘以这个裕度。从数学上讲，这是由公式给出的
- 阶段保证金:相位裕度可由给定公式计算:
- 根轨迹对称性:根轨迹是绕x轴或实轴对称的。
如何确定K在根位点上任意一点的值?现在有两种方法来确定K的值，每种方法如下所述。
- 级标准:在根轨迹上的任意点，我们可以用大小准则，
利用这个公式，我们可以计算出任意点的K值。 - 使用根轨迹图:K在根轨迹上任意s处的值由
根轨迹图
这在控制系统中也被称为根轨迹技术，用于确定给定系统的稳定性。现在为了用根轨迹技术确定系统的稳定性，我们找到使系统的完全性能令人满意且运行稳定的K值的范围。
为了画出根轨迹，我们需要记住一些结果。这些结果如下:
- 存在根位点的区域:在平面上画出所有的极点和零点后，我们可以很容易地找到根轨迹的存在区域，用一个简单的规则写在下面:
如果线段右侧的极点和零点总数为奇数，则只考虑该线段作根轨迹。 - 如何计算独立根位点的数量?:如果根的数目大于极点的数目，则独立根位点的数目等于根的总数;如果根的数目大于0，则独立根位点的数目等于极点的总数。
绘制根轨迹的程序
记住所有这些点，我们就能画出根轨迹图对于任何一种系统。现在我们来讨论求根轨迹的方法。
- 从开环传递函数中求出所有的根和极点，并将它们画在复平面上。
- 所有的根轨迹都从k = 0的极点开始到k趋于无穷时的零点结束。终止于无穷远处的分支数等于G(s)H(s)的极点数与零点数之差。
- 求出M和N的值后，用上述方法求出根轨迹的存在域。
- 计算脱离点和断点(如果有)。
- 通过计算渐近线的斜率，在复平面上画出渐近线和根轨迹的质心点。
- 现在计算出发角和根轨迹与虚轴的交点。
- 现在用我上面描述的任何一种方法来确定K的值。
- 计算增益裕度。
- 计算相位裕度。
- 你可以很容易地评价系统的稳定性使用Routh阵列。
按照上面的步骤，你可以很容易地画出根轨迹图对于任何开环传递函数。
