LC电路分析：系列，平行，方程式和转移功能|亚博ag安全有保障电气4U.

内容

什么是LC电路？

LC电路（也称为LC滤波器或LC网络）被定义为一个电路由它组成被动电路元件一个电感器（l）和a电容器（c）连接在一起。它也称为谐振电路，罐电路或调谐电路。

由于没有一个电阻器在电路的理想形式中，LC电路不消耗能量。这与理想的形式不同RC电路那RL电路，或者RLC电路，由于存在电阻而消耗能量。

在实际电路中表示，由于部件的非零电阻和连接线，LC电路将始终消耗一些能量。

为什么LC电路称为调谐电路或罐电路？

这收费在电容器的板和通过电感器之间来回流动。能量在电容器和电感之间振荡，直到部件的内阻和连接线使振荡灭绝。

该电路的作用类似于调谐动作，数学上称为谐波振荡器，其类似于在罐中来回摆动的摆锤;因此，电路称为调谐电路或罐电路。

该电路可以充当电谐振器并将能量振荡存储在频率称为谐振频率。

系列LC电路

在系列LC电路中，电感器和电容都连接在图中所示的系列中。

由于在串联电路电流中，电路中的各处相同，因此电流的流量等于通过电感器和电容器的电流等于电流。

$\ begin {align *} i = i_l = i_c \ neg {align *}$

现在端子上的总电压等于电容器上的电压和电感器两端的电压等等于电压的总和。

$\ begin {align *} v = v_l + v_c \结束{align *}$

串联LC电路共振

当频率增加的速度增加时归纳电抗也增加

$\ begin {align *} x_l = \ oomga l = 2 \ pi fl \ neg {alight *}$

和幅度的幅度电容电抗减少。

$\ begin {align *} x_c = \ frac {1} {\ oomega c} = \ frac {1} {2 \ pi f c} \ neg {align *}$

现在，在共振条件下，感应电抗和电容电抗的幅度变得相等。

$\ begin {aligne *} \ begin {split}＆x_l = x_c \\＆\ oomga l = \ frac {1} {\ oomega c} \\＆\ oomga ^ 2 = \ frac {1} {lc} \\＆\ oomega = \ oomega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}（其中，\ oomega =角频率）\\＆2 \ pi f = \ oomega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}} \\＆f_0 = \ frac {\ omega_0} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {lc}} \\ \ neat {split} \ end {align *}$

在哪里， $\ omega_0.$ 是谐振角频率（每秒弧度）。

$F_0.$ 是谐振频率（赫兹）。

现在AN阻抗系列LC电路由

$\ begin {align *} \ begin {split}＆z_l_c_（_ s_e_r_i_i_s_）= z_l + z_c \＆j \ emega l + \ frac {1} {j \ oomga c} \＆= j \ oomga l + \ frac {j} {j ^ 2 \ omega c} \＆= j \ oomega l - \ frac {j} {\ omega c} \＆= j（\ frac {\ oomga ^ 2 lc - 1} {\ omega c}）（其中，j ^ 2 = -1）\ \ end {split} \结束{align *}$

现在角度谐振频率是 $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ ，那么阻抗变成了

（1） $\ begin {arearation *} z_l_c（\ omega）_（_ s_e_r_i_e_s_）= j l（\ frac {\ oomega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2} {\ omega}）\ end {公式*}$

因此在谐振条件下 $\ omega = \ omega_0$ 总电阻抗Z将为零意味着x_L.和X._C互相抵消。因此，提供给系列LC电路的电流最大值（ $i = \ frac {v} {z}$ ）。

因此，系列LC电路，当与负载串联连接时，将充当一个带通滤波器在谐振频率下具有零阻抗。

在低于谐振频率的频率i.e. $f <f_0.$ 那 $X_C >> X_L.$ 。因此，电路是电容性的。
在高于谐振频率的频率i.。 $f> f_0.$ 那 $X_L >> X_C.$ 。因此，电路是电感的。
以谐振频率i.e. $f = f_0.$ 那 $X_L = X_C.$ 。电流最大，阻抗最小。在这种状态下，电路可以充当受体电路。

并行LC电路

在并联LC电路中，电感器和电容器两者都并联连接在图中示出。

并联电路中的每个端子上的每个端子上的电压是相同的。因此，端子上的电压等于电感器两端的电压和电容器两端的电压。

$\ begin {align *} v = v_l = v_c \ neg {align *}$

现在流过并联LC电路的总电流等于流过电感器的电流和流过电容器的电流之和。

$\ begin {align *} i = i_l + i_c \ neg {align *}$

并行LC电路中的共振

在感应抗抵抗（ $X_L.$ ）等于电容电抗（ $X_C.$ ），反应分支电流相等且相反。因此，它们互相抵消以在电路中提供最小电流。在这种状态下，总阻抗最大。

谐振频率由

$\ begin {align *} f_0 = \ frac {\ oomega_0} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {lc}} \ neg {senvent *}$

现在并行LC电路的阻抗

$\ begin {aligne *} \ begin {split} z_l_c_（_ p_a_r_a_l_l_l_l_）= \ frac {z_c z_c} {z_l + z_c} \＆= \ frac {j \ oomega l \ frac {1}} {j \ omega c}} {j \ oomega l + \ frac {1} {j \ oomega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {l} {c}} {\ frac { - \ oomega ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {j \ oomega l} {1 - \ omega ^ 2 lc} \ \ neg {split} \ end {align *}$

现在角度谐振频率是 $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ ，那么阻抗变成了

（2） $\ begin {公式*} z_l_c（\ omega）_（_ p_a_r_a_l_l_l_l_）= - j（\ frac {1} {c}）（\ frac {\ omega} {\ omega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2}）\ neg {方程*}$

因此在谐振条件下 $\ omega = \ omega_0$ 总电阻抗Z将是无限的，提供给并联LC电路的电流最小（ $i = \ frac {v} {z}$ ）。

因此，当与负载串联连接时的并联LC电路将充当带停止滤波器，其具有谐振频率的无限阻抗。与负载并联连接的并联LC电路将充当带通滤波器。

在频率低于谐振频率i.e.f 0.， X_L.>> X._C。因此，电路是电感的。
以高于谐振频率的频率i.e.f> f_0.， X_C>> X._L.。因此，电路是电容性的。
以谐振频率i.e.f = f_0.， X_L.= X._C，电流最小，阻抗最大。在这种状态下，电路可以充当抑制电路。

LC电路方程式

电流和电压方程

在初始条件下：

$\ begin {align *} i（0）= i_0 sin \ phi \ neg {align *}$

$\ begin {aligne *} v（0）= - \ omega_0 l i_0 sin \ phi \ neg {alight *}$

在振荡时：

$\ begin {align *} i（t）= i_0 sin（\ omega_0 t + \ phi）\ end {align *}$

$\ begin {align *} v（t）= \ sqrt {\ frac {l} {c}} i_0 sin（\ oomega_0 t + \ phi）\ neg {align *}$

LC电路微分方程

$\ begin {对齐*} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {align *}$

$\ begin {aligne *} s ^ 2 i（t）+ \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \结束{align *}$

$\ begin {aligne *} s ^ 2 + \ oomega_0 ^ 2 = 0 \，\，（其中，\ oomega = \ oomega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}）\ neg {alpion *}$

LC电路系列的阻抗

$\ begin {aligal *} z_l_c（\ omega）_（_ s_e_r_i_e_s_）= j l（\ frac {\ omega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2} {\ omega}）\结束{align *}$

平行LC电路的阻抗

$\ begin {aligne *} z_l_c（\ omega）_（_ p_a_r_a_l_l_l_l_）= - j（\ frac {1} {c}）（\ frac {\ omega} {\ omega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2}）\ neat {对齐*}$

设定时间

LC电路可以用作电谐振器并在称为谐振频率的频率处的电场和磁场之间存储能量振荡。由于任何振荡系统在一段时间内以稳态条件达到，所以称为设定时间。

响应响应减小并且在其稳态值稳定的时间所需的时间，其后在其最终值的+ - 2％之后仍称为设定时间。

LC电路电流

认为 $它）$ 是流过电路的瞬时电流。电感器上的电压降在电流方面表示 $v = l \ frac {di（t）} {dt}$ 电容器上的电压降 $v = \ frac {q} {c}$ ，其中Q是存储在电容器正极板上的电荷。

现在根据Kirchhoff的电压法，闭环各个组件的潜在液滴之和等于零。

（3） $\ begin {arearation *} l \ frac {di（t）} {dt} + \ frac {q} {c} = v \ nod {equation *}$

将上述等式除以L并将其区分开来，我们得到

$\ begin {aligne *} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {d} {dt} \ frac {d} {lc} = \ frac {dv} {dt} \结束{对齐*}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} \ frac {d} {dt}（它）= 0（其中，q =它）\结束{align *}$

$\ begin {对齐*} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {align *}$

（4） $\ begin {等式*} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2}} {dt ^ 2} = - \ frac {1} {lc} i（t）\ neat {arearation *}$

现在现在的目前很简单谐波振动形式是：

（5） $\ begin {公式*} i（t）= i_0 sin（\ omega t + \ phi）（i = i = m sin \ oomega t）\ neg {arearation *}$

在哪里 $i_0> 0.$ 和 $\ phi.$ 是常数。

将方程（5）的值放入（4）我们得到，

$\ begin {aligne *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} i_0 sin（\ omega t + \ phi）= - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \ phi）\ neg {align*}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d} {dt} [\ frac {d} {dt} i_0 sin（\ oomega t + \ phi）] = - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \phi）\结束{align *}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d} {dt} [\ oomega i_0 cos（\ omega t + \ phi）] = - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \ phi）[\ frac {d} {dx} sinax = acosax] \结束{align *}$

$\ begin {align *} - \ oomega ^ 2 i_0 sin（\ omega t + \ phi）= - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \ phi）[\ frac {d} {dx} cos ax= --asinax] \结束{align *}$

$\ begin {aligne *} - \ omega ^ 2 = - \ frac {1} {lc} \ neg {align *}$

（6） $\ begin {arearation *} \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {lc}} \ end {arearation *}$

因此，从上述等式中，我们可以说LC电路是振荡电路，并且它以称为谐振频率的频率振荡。

LC电路电压

现在根据等式（3），电感器两端的感应电压减去电容器上的电压。

$\ begin {align *} v = -l \ frac {di（t）} {dt} \ neg {align *}$

从等式（5）中放置电流方程，我们得到

$\ begin {align *} \ begin {split} v（t）= - l \ frac {d} {dt} [i_0 cos（\ omega t + \ phi）] \＆= - l i_0 \ frac {d} {dt} [cos（\ omega t \ phi）] \＆= - l i_0 [ - \ omega sin（\ omega t + \ phi）] \＆=ωli_0 [sin（\ omega t + \ phi）] \＆\ \ \ frac {1} {\ sqrt {lc}} l i_0 [sin（\ omega t + \ phi）]（其中，\ omega = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}）\\v（t）= \ sqrt \ frac {l} {c} i_0 [sin（\ omega t + \ phi）] \ \ end {split} \ end {align *}$

换句话说，当电流达到零时电压达到最大值，反之亦然。电压振荡的幅度是当前振荡乘以的幅度 $\ sqrt \ frac {l} {c}$ 。

LC电路的传递功能

这转换功能从输入电压到电容上的电压是

$\ begin {align *} \ begin {split} h_c（s）= \ frac {v_c（s）} {v_i_n（s）} \＆= \ frac {z_c} {z_c + z_l} \＆= \ frac {\FRAC {1} {J \ OMEGA C}} {J \ OMEGA L + \ FRAC {1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ omega c}} {j \ oomega c}} {\ frac{J ^ 2 \ oomega ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {1} { - \ oomega ^ 2 lc + 1} \\ h_c（s）= \ frac {1} {1 - \ omega ^ 2 lc}（其中，j ^ 2 = -1）\ \ end {split} \结束{align *}$

类似地，从输入电压转移功能到电感器两端的电压是

$\ begin {aligne *} \ begin {split} h_l（s）= \ frac {v_l（s）} {v_i_n（s）} {v_i_n（s）} \＆= \ frac {z_l} {z_c + z_l} \＆= \ frac {j\ oomega l} {j \ omega l + \ frac {1} {j \ oomega c}} \＆= \ frac {j \ oomega l} {\ frac {j ^ 2 \ oomega ^ 2 lc + 1} {j\ oomega c}} \＆= \ frac {j ^ 2 \ oomega ^ 2 lc} { - \ omega ^ 2 lc + 1} \\ h_l（s）= - \ frac {\ omega ^ 2 lc} {1 -\ omega ^ 2 lc} \ \ end {split} \结束{align *}$

LC电路的自然反应

让我们假设电容器最初完全放电，并且开关（k）保持打开很长时间，并且在T = 0处关闭它。

在t = 0^-Switch K是开放的

这是一个初始条件，因此我们可以写，

$\ begin {align *} i_l（0 ^ - ）= 0 = I_L（0 ^ +）\ END {align *}$

$\ begin {align *} v_c（0 ^ - ）= 0 = v_c（0 ^ +）\结束{align *}$

因为通过电感器的电流和电容器两端的电压不能瞬时变化。

对于所有t> = 0⁺开关k关闭

现在电压源在电路中引入。因此，将KVL应用于电路，我们得到，

$\ begin {sental *} \ begin {split} - v_l（t） - v_c（t）+ v_s = 0 \\ v_l（t）+ v_c（t）= v_s \\ l \ frac {di（t）} {dt} + \ frac {1} {c} \ int i（t）dt = v_s \\ \ neg {split} \ end {alight *}$

这里，电容器上的电压在电流方面表示。

上述等式称为积分微分方程。我们得到的差异化上述等式的两侧，我们得到了，

$\ begin {aligne *} l \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {i（t）} {c} = 0 \结束{align *}$

（7） $\ begin {arearation *} \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

等式（7）表示LC电路的二阶微分方程。

代替 $\ frac {d ^ 2} {dt ^ 2}$ 与S.²我们得到，

（8） $\ begin {arequation *} s ^ 2i（t）+ \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

现在上述等式的根源是

$\ begin {aligne *} s_1，_2 = \ frac {\ sqrt {\ frac {4} {lc}} {{2}} {{2}}} {2}} {{2}}} {{2}}} {{2}}} {\ sqrt {lc}} {\ sqrt {rc}} {2} = \ FRAC {1} {\ SQRT {LC}} \ END {align *}$

这里， $\ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ 是振荡的自然频率。

LC电路频率响应

使用阻抗方法：频率响应系统的一般方程是

$\ begin {对齐*} h（\ omega）= \ frac {y（\ omega）} {x（\ omega）} = \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} \ neg {align *}$

假设输出电压发生在电容器端子上，将电位分隔规则应用于上述电路

（9） $\ begin {arequation *} v_o_u_t = v_i_n \ frac {z_c} {z_c + z_l} \ end {arequation *}$

在哪里， $z_c =$ 电容器的阻抗 $= \ frac {1} {j \ omega c}$

$z_l =$ 电感的阻抗 $= {j \ omega l}$

在等式（9）中替换它，我们得到

$\ begin {align *} \ begin {split} \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} \＆= \ frac {z_c} {z_c + z_l} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ omega c}}{j \ oomega l + \ frac {1} {j \ oomega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ oomega c}} {j \ omega c}} {\ frac {j ^ 2 \ oomga ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {1} { - \ omega ^ 2 lc + 1}（其中，j ^ 2 = -1）\\ \ end {split} \ end {align *}$

（10） $\ begin {equation *} h（\ omega）= \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} = \ frac {1} {1 - \ oomega ^ 2 lc} \ end {arearation *}$

假设输出电压发生在电感器上，将潜在分频器规则应用于上述电路

（11） $\ begin {arequation *} v_o_u_t = v_i_n \ frac {z_l} {z_c + z_l} \ neg {arequation *}$

替代价值 $Z_C.$ 和 $Z_L.$ 在上面的等式中，我们得到了

$\ begin {aligne *} \ begin {split} \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} \＆= \ frac {z_l} {z_c + z_l} \＆= \ frac {j \ oomga l} {j \ omega l +} {j \ omega l +} {j \ omega l +}FRAC {1} {J \ OMEGA C}} \＆= \ FRAC {J \ OMEGA L} {\ FRAC {J ^ 2 \ OMEGA ^ 2 LC + 1} {J \ OMEGA C}} \＆= \ FRAC {j ^ 2 \ oomga ^ 2 lc} { - \ omega ^ 2 lc + 1} \ \ end {split} \ end {align *}$

（12） $\ begin {equation *} h（\ omega）= \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} = - \ frac {\ omega ^ 2 lc} {1 - \ omega ^ 2 lc} \ end {公式*}$

等式（10）和（12）表示以复杂形式的L-C电路的频率响应。

LC电路微分方程

$\ begin {aligne *} l \ frac {di（t）} {dt} + \ frac {1} {c} \ int i（t）dt = v \ nod {alight *}$

上述等式称为积分微分方程。这里，电容器上的电压在电流方面表示。

现在，将上方等式相对于T，我们得到，

$\ begin {aligne *} l \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {i（t）} {c} = 0 \结束{align *}$

（13） $\ begin {arearation *} \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

上述等式表示LC电路的二阶微分方程。

代替 $\ frac {d ^ 2} {dt ^ 2}$ 与S.²我们得到，

（14） $\ begin {arequation *} s ^ 2i（t）+ \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

现在， $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ 所以， $\ omega_0 ^ 2 = \ frac {1} {lc}$ ，把它放在上面的等式中，我们得到了，

$\ begin {align *} s ^ 2i（t）+ \ oomega_0 ^ 2 i（t）= 0 \ end {align *}$

$\ begin {align *} s ^ 2 + \ oomega_0 ^ 2 = 0 \ end {align {aligh *}$

LC电路充电和放电

在LC电路中，电感器和电容器都存储元件I. I.电感存储其能量磁场（B），取决于通过它的电流，电容器在电容器上存储能量电场（e）在其导电板之间，取决于其上的电压。

最初假设电容器包含电荷Q，然后电路的所有能量最初存储在电容器的电场中。存储在电容器中的能量是

$开始{align *} \ begin {split} e_c = \ frac {1} {2} cv ^ 2 \＆= \ frac {1} {2} c \ frac {q ^ 2} {c ^ 2} \＆= \ frac {1} {2} \ frac {q ^ 2} {c ^ 2}（v = \ frac {q} {c}）\ \ end {split} \ end {align *}$