薛定谔波动方程的推导与解释亚博ag安全有保障

内容

薛定谔方程是什么

的Schrödinger方程式（也称为Schrödinger的波浪方程）是一种局部微分方程，其通过波函数描述量子机械系统的动态。通过求解Schrödinger方程，可以检索这些系统的轨迹，定位和能量。

亚原子粒子的所有信息都编码在波函数中。波函数将满足并可以用薛定谔方程求解。薛定谔方程是本科生物理学中引入的基本公理之一。它也越来越普遍地发现薛定谔方程被介绍在大学电子工程教学大纲，因为它是适用的半导体。

不幸的是，在这两种情况下，它都只是作为一个公设陈述，从未以任何有意义的方式推导出来。这是相当不令人满意的，因为几乎所有的其他教学在本科量子物理是建立在这个基础上。在这篇文章中，我们将从头开始推导这个方程，我将尽我所能展示所采取的每一步。

有趣的是，我们将制作的论点与Schrödinger本人所采取的争论一样，所以你可以看到一条巨人在他的时间做出的思考。作为提醒，这里是其所有美容中的三维（对于非相对论粒子）的时间依赖的Schrödinger方程：

量子物理和波浪

每个人都喜欢把经典物理学带进口袋——但它在相当长的一段时间里为我们服务得很好(想想牛顿力学、麦克斯韦方程和狭义相对论)。

然而，如前所述的文章中所示，与当时已知物理相比，世纪之交的实验结果并不看得太闪光。我们的文章双缝实验在某种程度上，光电效应是实验结果，与对时间的知识不太匹配。

但为什么？简单地说，在古典物理中，存在两个实体，粒子和波。这两个实体的特征可以描述如下:

颗粒：局部的能量和质量势头 $m$ 。

波浪：干扰随着时间的推移传播空间旅行。它们可以用波函数描述 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 这描述了空间和时间的波浪。

这将我们带来了我们的令人惊讶的结果光电发射文章。我们发现电子表明都这些属性。这与知名人的理解完全矛盾，随着两个实体被认为是互斥的。

疯了吗？关于这一次，物理学中的一些真正有影响力的人物开始意识到知识中存在差距，当路易斯德布利相关联的势头（对于粒子）给出的波长（用于波长）时，大幅突破

$\ begin {公式*} p = h / \ lambda。结束\{方程*}$

此外，来自光电发射我们知道，光子的能量吸收和发射（仍然不确定粒子或波浪）是否具有：

$\ begin {arearation *} e = hf = \ hbar \ oomga \ neg {arequation *}$

在哪里 $\ hbar = h / 2 \ pi$ 和 $\ omega = 2 \ pi f$ 。我们现在处于完全相同的阶段，谢尔丁斯在得出了着名的方程之前。但我们在哪里开始？嗯，我们知道电子和光子显示出波样和颗粒状的行为。从一个通用方程开始，所有波浪都应该服从，然后在顶部引入粒子物理以查看是否存在结果。

如何推导波动方程

干扰 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 遵守波动方程。请记住，电子显示波状行为并具有电磁电荷。因此，现在，让我们只看电磁场。在这种情况下，Maxwell的等式适用，在这里，他们在他们所有的荣耀中：

$\ begin {aligne *} \ nabla \ times \ vec {e}＆= - \ frac {\ partial {\ vec {b}}} {\ partial {t}} \\ \ nabla \ times \ vec {b}＆= - \ mu_0 \ left（\ vec {j} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial {\ vec {e}}} {\ partial {t}}} {\ partial {t}} \ oft）\\ \ nabla \ cdot \ vec {e}＆= \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} \\ \ nabla \ cdot \ vec {b}＆= 0 \ end {alight *}$

在哪里 $c$ 是真空中的光速， $vec {E} \$ 是电场和 $\ vec {b}$ 是磁场。上面的第一等式是发电机，电感器和变压器的基础，是法拉第法的实施例。

另外，其中一个含义 $\ nabla \ cdot \ vec {b} = 0$ 是没有存在磁垄断。了解这些方程的推导以及它们背后的物理意义使其成为一个圆满的工程师。现在，让我们通过将CURL应用于等式4来推导出任何电磁波必须服从任何电磁波：

$\ begin {aligne *} \ nabla \ times \ vec {e}＆= - \ frac {\ partial {\ vec {b}}} {\ partial {t}} \\ \意味着\ nabla \ times（\ nabla \时代\ vec {e}）＆= - \ frac {\ partial {（\ nabla \ times \ vec {b}）}} {\ partial {t}}}} {\ partial {t}} \\ \ iclies \ nabla \ times（\ nabla \ times \vec {e}）＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}} {\ partial {}}} \ neat {senvent *}$

现在我们可以利用一个非常家庭（和轻松证明）矢量身份： $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ 在哪里 $T$ 是一些占位符矢量。现在申请我们的小方程式：

$\ begin {align *} \ nabla（\ nabla \ cdot \ vec {e}） - \ nabla ^ 2 \ vec {e}＆e}＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}} {\ partial {t ^ 2}} \\ \意味着 - \ nabla ^ 2 \ vec {e}＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2{\ vec {e}}} {\ partial {t ^ 2}} \\ \ nabla ^ 2 \ vec {e} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}}} {\ partial {t ^ 2}}＆= 0 \ end {aligh *}$

我们得到的结果是三维电磁波方程。这个方程不仅表现在电磁波中，而且还表现在声学、地震波、声波、水波和流体动力学中。

如何获得Schrödinger方程

波动方程的平面波解

从一维的波动方程开始(它很容易推广到三维，因为逻辑将适用于所有 $x, y$ 和 $z$ 尺寸。）：

$\ begin {等式*} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}} {\ partial ^ 2 {x}} = \ frac {1}} = \ frac {1}} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}}}} {\ partial ^ 2 {t}} \ longrightarrow \ frac {{\ partial ^ 2 {e}} {\ partial ^ 2 {e}} - \ frac {1}} - \ frac {1}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}} {\ partial ^ 2 {t}} = 0 \ end {等式*}$

实际上，这是二阶偏微分方程，并满足平面波解决方案：

${begin{equation*} E(x, t) = E_0 E ^{i(kx - \omega t)}} text{(自己检查一下!)} \结束{方程*}$

我们从正常波力学所知的地方 $k = \压裂{2 \π}{\λ}$ 和 $\ omega = 2 \ pi f$ 。现在，让我们利用来自爱因斯坦和康普顿的工作，并替代光子的能量被给出 $\ mathsf {e} = \ hbar \ omega$ 从de-broglie那里 $p = h / \ lambda = \ hbar k$ 。我们可以进一步调整我们的平面波解:

$\ begin {等式*} e（x，t）= e_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf {e} t）} \ end {公式*}$

这是描述光子的平面波方程。让我们将这个方程式替换为我们的波浪方程，看看我们发现了什么！

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \暗示——\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0结束\{对齐*}$

换句话说, $\ mathsf {e} ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2$ 这很好，因为我们从狭义相对论中知道一个有质量的相对论粒子的总能量 $米$ 是:

$(E ^2 = p^2c^2 + m^2 c^4) \end{equation*}$

到目前为止，我们只处理了没有质量的光子 $（m = 0）$ ！！因此，让我们来扩展我们的理解，并以质量（例如电子）为粒子应用总体相对论能量，并将我们的等式的名称改为 $\ psi.$ 因为我们是男人。

$\ begin {公式*} - \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ left（p ^ 2 - \ frac {\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2c ^ 2 \右）\ psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf {e} t）} = 0 \ end {equation *}$

现在，这种等式直接从代替光子中的平面波方程进入波浪方程。然而，由于我们现在希望能量来解决具有质量质量的粒子的总相对论能量，因此我们需要稍微改变波动方程。这是因为波动方程不应该完全适用于我们的新 $\ psi.$ 描述粒子和波浪。我们现在可以解答为运营商获得上面的等式，并给出：

$左(\ \开始{方程*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} = 0结束\{方程*}$

在波动方程中求解有质量的粒子

现在，我们想对我们刚刚描述的全部能量，做一些近似 $\ mathsf {E}$ 对于具有动量和质量的粒子。让我们稍微重新排列公式，以便我们可以使用一些近似值。

$\开始{对齐*}\ mathsf {E} ^ 2 & = p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \ \ \ mathsf {E} & = \ sqrt{\离开(p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \对吧 )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4(\压裂{p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2) \ )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4 m ^ 2(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1) \右)}\ \ & = mc ^ 2 \√{\离开(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右)}\{对齐*}结束$

这种操纵的全部点是在表格中获得等式 $\ sqrt {1 + x}$ 因为如果我们采取泰勒系列扩展，我们得到：

${方程*}\ \开始sqrt {1 + x} \大约1 + \压裂{x}{2} - \压裂{x ^ 2}{8} + \压裂{x ^ 3}{16} +……结束\{方程*}$

什么时候 $x$ 是小的，唯一的部分仍然存在于泰勒的扩张中是 $O（1）$ 术语。在我们的能量公式中， $x = \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} = \离开(\压裂{p} {mc} \右)^ 2$ 。我们可以利用这个事实 $p = mv \ ll mc$ 对于任何不以光速旅行的东西（如果您找到任何不满足的东西，请找我）！所以这个术语实际上减少了：

$\ begin {align *} \ mathsf {e}＆= mc ^ 2 \ sqrt {\ left（\ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右）} \\＆\ atthem ^2 \左（1 + \ FRAC {1} {2} \ FRAC {P ^ 2} {M ^ 2 C ^ 2} \右）\\＆= mc ^ 2 + \ frac {p ^ 2} {2m}= MC ^ 2 + e _ {\ text {kinetic}} \ end {align *}$

在哪里

$\ begin {arearation *} e_ \ text {kinetic} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {（mv）^ 2} {m} = \ frac {p^ 2} {2m} \结束{arearation *}$

是我们从高中物理学中看到的正常动能。现在从以前返回Wave函数，让我们现在输入这个新信息，看看我们最终有什么：

$\ begin {align *} \ psi（\ vec {r}，t）＆= \ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - \ mathsf {e} t）}}} \\＆\ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - mc ^ 2t - e_ {\ text {kinetic}} t）} \\＆= e ^ { - \ frac{i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（p \ vec {r} - e_ {\ text {kinetic}} t）} \\ \ end {aligh*}$

我们现在已经将两项术语分开的原因是第一个术语 $e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t}$ （仅基于光速再次）将显着更加振荡到第二个术语的振荡，并且不一定描述我们之后的粒子波实体。所以要巩固这种差异，让我们现在确定：

${方程*}\ \开始Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) \{方程*}结束$

我们现在定义的地方：

${方程*}\ \开始psi (vec {r} \ t) = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)}。结束\{方程*}$

现在让我们采取第一和第二部分衍生品 $\ psi（\ vec {r}，t）$ 并看看我们最终的目标。首先：

$\ begin {arequation *} \ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}} {\ partial t} = - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi（\ vec {r}，t）+ e ^ { - - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \ psi（\ vec {r}，t）} {\ partialt} \结束{等式*}$

第二个:

$\ begin {arearation *} \ frac {\ partial ^ 2 {\ psi}} {\ partial t ^ 2} = \ left（ - \ frac {m ^ 2c ^ 4} {\ hbar ^ 2} e ^ { - \FRAC {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {2i} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} \右）+ e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial t ^ 2} \ end {arearation *}$

我们应该记住，第二个术语与第二部分衍生物相当小，因为没有 $C ^ 2$ 携带幅度的术语，因此通过近似，实际的第二衍生物由：

$\ begin {aligne *} \ frac {\ partial ^ 2 {\ psi}} {\ partial t ^ 2} \ intave \ left（ - \ frac {m ^ 2c ^ 4} {\ hbar ^ 2} e ^ { -\ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {2i} {\ hbar} mc} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \psi} {\ partial t} \右）\结束{align *}$

我们拍摄这两个部分衍生品的偷偷摸摸的原因是为了使他们能够将它们赋予描述Wave功能的这种等式：

$\ begin {公式*} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}} {\ partial ^ 2 {t}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \右）\ psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf{e} t）} = 0 \ end {等式*}$

但在我们能做到之前，让我们重新排列这个公式，我们将最终成为称为Klein-Gordon方程的等式：

$\ begin {align *} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}}} {\ partial ^ 2 {t}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \右）\ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf{e} t）}＆= 0 \\ \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi（x，t）}}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi（x，t）＆= \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi（x，t）}}} {\ partial ^ 2 {t}} \结束{align *}$

现在，我们可以很容易地把这个方程转化成一个矢量方程(我们推导这个公式所采取的所有步骤都适用于所有情况)，从而将它推广到三维空间 $x, y$ 和 $z$ 。)

$\ begin {等式*} \ nabla ^ 2 \ psi（\ vec {r}，t） - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi（\ vec {r}，t）= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

这个方程被称为自由粒子的克莱因-戈登方程。这个方程是相对的，因为它的能量项不做我们做过的假设 $\ sqrt {1 + x}$ 泰勒展开式。

现在，让我们简化Klein-Gordon方程（返回到1-D并应用我们的新能量配方），我们将达到最长期待的Schrödinger方程式：

$\ begin {aligal *} \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi}}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2}} {\ hbar ^ 2} \ psi＆= \FRAC {1} {C ^ 2} \ FRAC {{\ Partial ^ 2 {\ psi}}} {\ partial ^ 2 {t}} \ neat {alight *}$

让我们放入我们的新波函数 $\ psi（\ vec {r}，t）= e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi（\ vec {r}，t）$ 我们知道它对时间的一阶和二阶导数是什么

$\ begin {aligne *} \ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi＆= \ frac {1} {c ^ 2} \ left（ - \ frac {米^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

现在我们需要做的就是简单地重新排列，得到三维的薛定谔方程(注意 $\ frac {1} {i} = -i$ ）：

$\ begin {arearation *} i \ hbar \ frac {\ partial {}} {\ partial {t}} \ psi（\ vec {r}，t）= \ frac { - \ hbar ^ 2} {2 m} \nabla ^ 2 \ psi（\ vec {r}，t）\ end {arearation *}$

在该参数可以通过注意到古典汉密尔顿人的相似性，即该等式右侧的术语描述了波函数的总能量。

在我们的推导中，我们认为 $V (vec {r} \ t)$ 是0，只考虑了动能。我们知道潜在对其空间变化纯粹的添加剂，因此，三维具有潜力的全薛定液方程是：

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) =左\[\压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 + V (vec {r} \ t)正确\]\ Psi (vec {r} \ t)。结束\{方程*}$

而已！我们拥有它，本文在三维中衍生出完整的施罗德格方程，以实现非相对论粒子。如果你喜欢这篇文章并希望看到更像这样的话，请给我们发电子邮件让我们知道。

引用

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沃德，D。和Volkmer，S。（2019）。如何衍生施罗德格方程式。[在线] arxiv.org。可用：https：//arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [2019年5月29日访问]。
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