拉普拉斯变换初值定理亚博ag安全有保障

初值定理是初值定理的基本性质之一拉普拉斯变换。它是由法国著名的数学物理学家皮埃尔·西蒙·Marquis De Laplace提出的。他应用牛顿的万有引力理论，在行星运动领域做出了重要贡献。他关于概率和统计理论的工作被认为是开创性的，这影响了整个新一代数学家。拉普拉斯是将自己的名字刻在埃菲尔铁塔上的72个人之一。
初值定理和终值定理统称为极限定理。初值定理常被称为IVT。它使我们能够求出t =(0)时的初始值⁺在这种情况下，求f(t)是一个繁琐的过程。

初值定理存在的条件

1. 函数f(t)及其导数f(t)应该是拉普拉斯变换的。
2. 如果时间t趋于(0⁺)那么函数f(t)应该存在。

函数f(t) = 0时为t > 0，在原点不包含脉冲或高阶奇点。

拉普拉斯初值定理的表述

如果f(t)和f(s)是拉普拉斯变换对。即

给出了初值定理

拉普拉斯初值定理的证明

函数f(t)的拉普拉斯变换是

它的导数f ' (t)的拉普拉斯变换是

首先考虑积分部分

将(2)代入(1)得到

消去f (0^{- - - - - -}两边都有

我们可以直接写出上面的方程但我的目的是求(0)的积分极限^{- - - - - -}to∞)是，无论我们如何考虑极限的负值，它都属于具有正值的结果。

注意:
我们也知道拉普拉斯变换只适用于因果函数。
考虑到(3)两边(s)趋于无穷

由此证明了初值定理。

初值定理的应用

我之前说过初值定理的目的是确定函数f (t)的初值前提是它的拉普拉斯变换是已知的
示例1:
求函数f (t)的初始值= 2u (t) + 3 cost u (t)
索尔:

用初值定理

初始值由5给出。
示例2:
求变换后函数的初值

索尔:

用初值定理

[当s→∞时，s的值变得越来越不显著，因此只需取主导系数之比即可得到结果]

示例3:
的初始值
解决方案:
初值定理在这种情况下不适用。我们可以用两种方法来证明。
让我们看看情况如何
方法1:

注意:
当F (s)为真分数时，即分子多项式低于分母多项式时，该定理严格适用。
在IVT的情况下，我们得到∞作为初始值。

[这在实际电路中是不可能的]
alit:

应用拉普拉斯逆变换

很明显，初值定理是不适用的，因为有脉冲函数，它在时间t上是常数。